1897'den Bugüne: Elektronun Özgül Yükünü Biz de Ölçtük

Şunu bir düşün: 1897 yılında J.J. Thomson, içinde ne olduğu tam bilinmeyen bir cam tüpün içine elektron demeti gönderdi. Manyetik alan uyguladı, demet büküldü ve bu bükülmenin şeklinden atomun temel bir sabitini ölçtü. O günden bu yana yüz yılı aşkın süre geçti ve biz bu deneyi hala yapıyoruz. Neden? Çünkü çalışıyor.

Modern Fizik Laboratuvarı'nın ikinci deneyi bu elektronun özgül yükü $e/m_0$ 'ın ölçülmesi. Kabul edilen değer $1.759 \times 10^{11}$ C/kg. Ben ölçtüm: $1.859 \times 10^{11}$ C/kg — yani %5,68 hata. İlk bakışta küçük bir sayı gibi görünebilir ama arkasındaki fizik oldukça güzel.

Bu yazıda deneyin fiziğini yaptığım ölçümleri ve sonuçları analiz etmek için yazdığım Python kodunu adım adım anlatıyorum. Aynı dersi alanlar için mümkün olduğunca pratik ve şeffaf tutmaya çalıştım.

Neden Bu Sabit Bu Kadar Önemli?

$e/m_0$ bir elektronun ne kadar "çevik" olduğunu söyler. Yük ne kadar büyükse elektrik/manyetik alanlara o kadar güçlü tepki verir kütle ne kadar küçükse ivme o kadar kolay olur. Bu oranı bilmek şu uygulamalarda doğrudan kullanılır:

Katot ışın tüpleri (eski CRT ekranlar): elektronun yönü kontrol edilir
Kütle spektrometresi: iyonlar bu orana göre ayrıştırılır
Siklotron ve füzyon reaktörleri: parçacık yörüngeleri bu sabitle hesaplanır

Thomson bu oran üzerinden elektronun hidrojen iyonundan ~2000 kat hafif olduğunu gösterdi ve bunun tüm atomlarda ortak bir bileşen olduğunu öne sürdü. 1906 Nobel Fizik ödülü bundandı.

Teorik Temel: İki Denklem, Bir Sonuç

Elektron Hızlanması

Bir elektron $U$ gerilimle hızlandırıldığında enerji korunumu şunu verir:

eU = \frac{1}{2} m_0 v^2

Manyetik Alandaki Dairesel Hareket

Elektrona dik bir $\vec{B}$ alanı uygulandığında Lorentz kuvveti devreye girer:

\vec{F} = e\,\vec{v} \times \vec{B}

Bu kuvvet, hız yönüne daima dik olduğundan iş yapmaz sadece yönü değiştirir. Yani elektron dairesel bir yörüngede hareket eder. Merkezcil kuvvetle eşitlenince:

evB = \frac{m_0 v^2}{r} \implies v = \frac{e}{m_0} B r

Çalışma Denklemi

Üstteki iki denklemi birleştirip $v$ 'yi elersek:

\boxed{\frac{e}{m_0} = \frac{2U}{(Br)^2}}

Yani bize lazım olan üç şey gerilim $U$ yörünge yarıçapı $r$ ve manyetik alan $B$ .

Helmholtz Bobininin Alanı

Manyetik alan biri birbirine $R$ mesafede iki eş bobinden oluşan Helmholtz düzeneğiyle üretilir. Merkezdeki alan:

B = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} \mu_0 \, n \, \frac{I}{R}

Deneyimizde $R = 0.2$ m ve $n = 154$ sarım için sabit $k \equiv B/I = 6.925 \times 10^{-4}$ T/A olarak hesaplanır; yani $B = kI$ .

Marmara Lab Notu: Düzeneğin $k$ sabitini doğrudan cihaz üzerindeki değerlerden kendiniz hesaplayın — deney föyündeki değerle örtüşüyor mu kontrol edin. Bizim sonucumuz tam örtüştü.

Doğrusal Regresyon Yöntemi

Nokta nokta $e/m_0$ hesaplamak yerine daha güçlü bir yaklaşım var. $B = kI$ yazıp çalışma denklemini yeniden düzenleyelim:

U = \underbrace{\left(\frac{e}{m_0} \cdot \frac{r^2 k^2}{2}\right)}_{c} \cdot I^2

Sabit bir $r$ için $U$ $I^2$ 'nin doğrusal bir fonksiyonu — eğim $c$ . Bu eğimi ölçersek:

\frac{e}{m_0} = \frac{2c}{r^2 k^2}

Bu yöntemin güzelliği şu tüm veri noktalarını aynı anda kullanıyor ve sistematik hataları görünür kılıyor.

Deney Düzeneği

Düzenek dört ana bileşenden oluşuyor:

Dar Demet Tüpü: Düşük basınçlı hidrojen gazıyla dolu cam bir küre. Elektronlar oksit katot ve konik anot aracılığıyla dışarı odaklanır. Elektronlar hidrojen molekülleriyle çarpışarak hafif bir ışıldama izi bırakır — bu iz sayesinde yörüngeyi doğrudan görebiliyoruz.

Helmholtz Bobini: $R = 0.2$ m ve $n = 154$ sarımlı iki eş bobin. Seri bağlandıklarında her ikisinden aynı akım geçer bu da simetrik ve düzgün alan için şart.

DC Güç Kaynakları: 300 V'a kadar yüksek gerilim kaynağı (hızlandırma için) ve bobin akımı için ayrı kaynak.

Dijital Multimetreler: $\sigma_U = 1$ V hassasiyetli voltmetre ve $\Delta I = 0.01$ A hassasiyetli ampermetre.

Elektrona etki eden Lorentz kuvvetinin vektörel gösterimi. F_Lorentz kuvveti hız v_0 ve manyetik alan B'ye her zaman diktir. — Şekil 2 — Lorentz kuvvetinin vektörel gösterimi. Kuvvet hıza ve alana dik olduğundan sürekli yön değiştirir ama kinetik enerjiyi korur.

Ham Veriler ve Doğrudan Hesaplama

16 ölçüm koşulunda ( $r = 2, 3, 4, 5$ cm; $U = 180, 200, 220, 240$ V) bobin akımı ölçüldü:

$r$ (m)	$U$ (V)	$I$ (A)	$B$ (mT)	$e/m_0$ ( $\times 10^{11}$ C/kg)
0.02	180	3.32	2.30	1.701
0.02	200	3.50	2.42	1.707
0.02	220	3.62	2.51	1.746
0.02	240	3.80	2.63	1.734
0.03	180	2.10	1.45	1.902
0.03	200	2.21	1.53	1.898
0.03	220	2.35	1.63	1.840
0.03	240	2.47	1.71	1.823
0.04	180	1.59	1.10	1.859
0.04	200	1.66	1.15	1.890
0.04	220	1.73	1.20	1.909
0.04	240	1.82	1.26	1.889
0.05	180	1.26	0.85	1.891
0.05	200	1.32	0.89	1.914
0.05	220	1.39	0.96	1.909
0.05	240	1.45	1.00	1.920

Yarıçap gruplarına göre ortalamalar ve kabul edilen değere göre hata:

$r$ (m)	$\overline{e/m_0}$ ( $\times 10^{11}$ C/kg)	% Hata
0.02	1.722	2.10
0.03	1.866	6.08
0.04	1.887	7.28
0.05	1.960	11.42
Genel	1.859	5.68

Açık bir trend var yarıçap büyüdükçe hata artıyor. Bunun neden olduğuna tartışmada döneceğim.

Python ile Grafik ve Regresyon

Verileri common.py dosyasında merkezi olarak tutup hem grafik hem regresyon kodlarında içe aktardım. Eğer aynı yapıyı kullanmak istersen:

common.py

python

import numpy as np
 
RAW_DATA = [
    (0.02, 180, 3.32, 2.30, 1.701),
    (0.02, 200, 3.50, 2.42, 1.707),
    # ... (tüm 16 satır)
]
 
r_vals  = np.array([d[0] for d in RAW_DATA])
U_vals  = np.array([d[1] for d in RAW_DATA])
I_vals  = np.array([d[2] for d in RAW_DATA])
 
LIT     = 1.759   # kabul edilen değer (×10¹¹ C/kg)
k       = 6.925e-4  # T/A — bobin sabiti

U vs I² Grafiği

$U \propto I^2$ doğrusallığını görmek için:

graph-i-v2.py

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import linregress
from common import r_vals, U_vals, I_vals, radii, COLORS, MARKERS
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(3.375, 2.6))
I2_vals = I_vals**2
 
for i, r in enumerate(radii):
    mask = r_vals == r
    x, y = I2_vals[mask], U_vals[mask]
 
    slope, intercept, r_value, _, _ = linregress(x, y)
    x_fit = np.linspace(min(x) * 0.9, max(x) * 1.1, 100)
 
    ax.scatter(x, y, color=COLORS[i], marker=MARKERS[i],
               s=25, label=f'$r = {int(r*100)}$ cm', zorder=5)
    ax.plot(x_fit, slope * x_fit + intercept,
            color=COLORS[i], lw=1.2, alpha=0.8)
 
    print(f"r={int(r*100)}cm: c={slope:.3f}, R²={r_value**2:.4f}")
 
ax.set_xlabel(r'$I^2$ (A$^2$)')
ax.set_ylabel(r'$U$ (V)')
ax.legend(frameon=True, fontsize=7)
ax.grid(alpha=0.25, lw=0.5)
fig.tight_layout(pad=0.4)

Dört farklı yarıçap için U - I² grafiği ve ağırlıklı doğrusal regresyon çizgileri. — Şekil 3 — U I²'nin doğrusal bir fonksiyonu olarak görülüyor (R² > 0.999). Her grubun eğimi e/m₀ hesabında kullanıldı.

linregress eğimi verir ama ölçüm belirsizliklerini hesaba katmaz. Raporda ağırlıklı regresyon zorunlu — bunun için scipy.optimize.curve_fit ile sigma argümanını kullan.

Ağırlıklı Regresyon ve Hata Yayılımı

$I$ 'daki belirsizlik $\Delta I$ fit'in bağımsız değişkeni $I^2$ olduğundan dikey eşdeğerine dönüştürülmeli:

\Delta U_{\text{eff}} = U \cdot \frac{2\,\Delta I}{I}

Toplam efektif dikey belirsizlik:

\sigma'_y = \sqrt{\sigma_U^2 + \Delta U_{\text{eff}}^2}

Her noktanın ağırlığı $w_i = 1/(\sigma'_{y,i})^2$ olarak atanır. Kodda:

error_propagation.py

python

from scipy.optimize import curve_fit
from common import r_vals, U_vals, I_vals, radii
 
sigma_U = 1.0   # V
delta_I = 0.01  # A
 
def linear_model(I2, c, b):
    return c * I2 + b
 
for r in radii:
    mask = r_vals == r
    U, I = U_vals[mask], I_vals[mask]
    I2 = I**2
 
    # 1) İlk fit ile c tahmini
    popt, _ = curve_fit(linear_model, I2, U)
    c_initial = popt[0]
 
    # 2) Her nokta için efektif belirsizlik
    delta_U_eff   = U * (2 * delta_I / I)
    sigma_y_prime = np.sqrt(sigma_U**2 + delta_U_eff**2)
 
    # 3) Ağırlıklı fit
    popt_final, pcov = curve_fit(
        linear_model, I2, U,
        sigma=sigma_y_prime, absolute_sigma=True
    )
    c_final = popt_final[0]
    delta_c = np.sqrt(pcov[0, 0])
 
    print(f"r={int(r*100)}cm: c = {c_final:.3f} ± {delta_c:.3f}")

absolute_sigma=True argümanını unutma. Bu olmadan curve_fit belirsizlikleri normalize eder ve hatalı $\Delta c$ verir — bu da hata yayılımını bozar.

Regresyon Sonuçları

\Delta\!\left(\frac{e}{m_0}\right) = \frac{e}{m_0} \sqrt{\left(\frac{\Delta c}{c}\right)^2 + \left(\frac{2\,\Delta r}{r}\right)^2}

$r$ (m)	$c \pm \Delta c$	$e/m_0$ ( $\times 10^{11}$ C/kg)	Sonuç
0.02	$17.910 \pm 0.620$	1.867 ± 0.114	$1.87 \pm 0.11$
0.03	$34.993 \pm 1.634$	1.621 ± 0.094	$1.62 \pm 0.09$
0.04	$77.140 \pm 4.582$	2.011 ± 0.131	$2.01 \pm 0.13$
0.05	$115.353 \pm 8.363$	1.924 ± 0.145	$1.92 \pm 0.15$

$r = 0.02$ m için örnek hesap:

\frac{e}{m_0} = \frac{2 \times 17.910}{(0.02)^2 \times (6.925 \times 10^{-4})^2} = 1.867 \times 10^{11}\ \text{C/kg}

Neden Büyük Yarıçaplarda Hata Artıyor?

Bu deneyin en ilginç sorusu bu. Birkaç etken var:

1. Sondaki manyetik alan homojenliği. Helmholtz düzeneği orta bölgede neredeyse düzgün alan verir. Ama $r = 5$ cm yarıçaplı yörünge bu homojen bölgenin sınırlarına yaklaşıyor — elektron tur boyunca farklı alan şiddetleriyle karşılaşıyor.

2. Paralaks hatası. Yörünge yarıçapı tüp içindeki referans işaretlere hizalanarak ölçülüyor. 5 cm'lik daire 2 cm'liğe kıyasla çok daha büyük bir açısal hataya açık — bakış açısına bağlı sapmalar ciddi ölçüm hatasına yol açıyor.

3. Gaz saçılması. Elektronlar hidrojen molekülleriyle çarpışarak enerji kaybediyor. Bu yörüngenin kapanmamasına ve demetin genişlemesine neden oluyor. Büyük yarıçaplarda bu etki daha belirgin.

4. Yeryüzü manyetik alanı. Bobin alanının küçük kaldığı büyük yarıçap koşullarında (~0.85 mT) dünya'nın manyetik alanı (~50 µT) giderek daha belirgin bir bozucu etki yaratıyor.

Dar demet tüpü içindeki elektron yörüngesi gözlemi. Yeşil ışıltılı daire elektron izini gösteriyor. — Şekil 4 — Gerçekte hiçbir zaman mükemmel bir daire göremezsin saçılma ve enerji kaybı nedeniyle yörünge giderek içe doğru sarmal çizer.

Sistematik hata tuzağı: Eğer ışıltılı demet geniş ve bulanıksa yörünge kenarını yanlış okursun. Bu özellikle büyük yarıçaplarda birikerek raporunu ciddi biçimde etkiler. Demet mümkün olduğunca ince ve parlak olmalı — bunun için Wehnelt gerilimini dikkatli ayarla.

Sonuç

Bu deney birbiriyle çelişen iki şeyi aynı anda öğretiyor ölçümün gücü ve sınırlarını.

Doğrudan hesaplama yöntemiyle genel ortalamam $1.859 \times 10^{11}$ C/kg (%5.68 hata) ağırlıklı regresyon yöntemi ise dört farklı değer veriyor — en iyisi $r = 0.02$ cm grubu için $1.87 \pm 0.11 \times 10^{11}$ C/kg (%6.25 hata). Her iki yöntemde de $r = 0.02$ m grubu kabul edilen değere en yakın.

Ağırlıklı regresyon yöntemi açıkça daha sağlam hem $U$ hem $I$ belirsizliklerini hesaba katıyor tüm veriyi aynı anda kullanıyor ve sıkı bir hata analizi sunuyor. Nokta nokta hesaplama ise hızlı doğrulama için kullanışlı.

Son olarak Thomson bu deneyi 1897'de kaba cam tüplerle ve gözle yaptı. Ben hem Helmholtz bobini hem Python hem de ağırlıklı regresyon kullandım ve %5.68 hata elde ettim. Bu bana hem fizik hem de ölçümün ne kadar kırılgan bir şey olduğunu hatırlattı.

Kaynaklar

P. J. Mohr, D. B. Newell ve B. N. Taylor, CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants, National Institute of Standards and Technology (2018). physics.nist.gov
D. Smith, e/m Charge to Mass Ratio Lab, Physics Department, Embry-Riddle Aeronautical University (7 Şubat 2021). physicsx.erau.edu
CERN HST Programme, Determination of the Specific Charge of the Electron, HST2007 Teachers Laboratory Documentation (2007). hst-archive.web.cern.ch
University of Duisburg-Essen, Experiment B08: Specific Charge of the Electron, Physics Laboratory Manual (2020). uni-due.de
Virtuelle Experimente, e/m — Specific Charge of the Electron (Simulation). virtuelle-experimente.de
C. R. Nave, HyperPhysics — Mass Spectrometer, Cyclotron, Magnetic Confinement, Georgia State University (2017). hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
Marmara Üniversitesi Fizik Bölümü, Hata Analizi — Deney Föyü E103, Fizik Laboratuvarı I (2025). fzkfen.marmara.edu.tr

Deney 11 Mart 2026'da gerçekleştirildi. Kod ve veri: Marmara Üniversitesi Modern Fizik Laboratuvarı — Deney 2.